Bài 60 trang 62 SGK Toán 8 tập 1

Cho biểu thức 

\(\left( {\dfrac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\dfrac{{4{x^2} - 4}}{5}\)

LG a.

Hãy tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của biểu thức được xác định.

Phương pháp giải:

- Phân thức đại số của biến \(x\) có dạng \( \dfrac{A(x)}{B(x)}\) được xác định khi \(B(x) \ne 0\).

- Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\) ta rút gọn biểu thức sao cho kết quả sau khi rút gọn là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\).

\({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) và \( x + 1 \ne 0\)

hay \(x \ne 1\) và \( x \ne  - 1\).

\(2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne  - 1\).

Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là \(x \ne  - 1,\;x \ne 1\).

LG b.

Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Phương pháp giải:

- Phân thức đại số của biến \(x\) có dạng \( \dfrac{A(x)}{B(x)}\) được xác định khi \(B(x) \ne 0\).

- Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\) ta rút gọn biểu thức sao cho kết quả sau khi rút gọn là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} - 4} \over 5} \cr 
& = \left[ {{{x + 1} \over {2\left( {x - 1} \right)}} + {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{x + 3} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{4({x^2} - 1)} \over 5} \cr 
& = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3.2 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \cr 
& = {{{x^2} + 2x + 1 + 6 - \left( {{x^2} - x + 3x - 3} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \cr 
& = {{{x^2} + 2x + 1 + 6 - {x^2} + x - 3x + 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \cr 
& = {{10} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5} \cr 
& = {{10.4.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = 4 \cr} \)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).