Bài 57 trang 61 SGK Toán 8 tập 1

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

LG a.

\(\dfrac{3}{{2x - 3}}\) và \(\dfrac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\);

Phương pháp giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:

Hai phân thức \( \dfrac {A}{B}\) và \( \dfrac {C}{D} \)  gọi là bằng nhau nếu \(AD=BC \).

Cách 2: Rút gọn phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{3}{{2x - 3}}\) và \(\dfrac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\)

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

Ta có:

+ ) \(3\left( {2{x^2} + x - 6} \right) = 6{x^2} + 3x - 18\)

+) \(\left( {2x - 3} \right)\left( {3x + 6} \right)\) \(= 6{x^2} + 12x - 9x - 18 \) \(= 6{x^2} + 3x - 18\)

Do đó: \(3\left( {2{x^2} + x - 6} \right)  = \left( {2x - 3} \right)\left( {3x + 6} \right) \) 

Vậy \(\dfrac{3}{{2x - 3}}=\dfrac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\)

Cách 2: Rút gọn phân thức

\(\eqalign{
& {{3x + 6} \over {2{x^2} + x - 6}} \cr 
& = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2{x^2} + 4x - 3x - 6}} \cr 
& = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right)}} \cr 
& = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = {3 \over {2x - 3}} \cr} \)

LG b.

\(\dfrac{2}{{x + 4}}\) và \(\dfrac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\).

Phương pháp giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:

Hai phân thức \( \dfrac {A}{B}\) và \( \dfrac {C}{D} \)  gọi là bằng nhau nếu \(AD=BC \).

Cách 2: Rút gọn phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{2}{{x + 4}}\) và \(\dfrac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\)

Cách 1:

Ta có:

+) \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right) \) \(= 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\)

+) \(\left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right) \) \(= 2{x^3} + 6{x^2} + 8{x^2} + 24x \) \(= 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\)

Do đó \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right)\) \( = \left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right)\)

Vậy \(\dfrac{2}{{x + 4}}=\dfrac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\)

Cách 2: Rút gọn phân thức 

\(\eqalign{
& {{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}} \cr 
& = {{2x\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)}} \cr 
& = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} + 3x + 4x + 12}} \cr 
& = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {2 \over {x + 4}} \cr} \)