Bài 53 trang 58 SGK Toán 8 tập 1

LG a.

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

\(1 + \dfrac{1}{x}\);                 

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\) ;            

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}\)  ;

Phương pháp giải:

Áp dụng các phép toán cộng và chia hai phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

\(1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}\)  (1)

Áp dụng (1) ta có :

\(\eqalign{
&1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}\cr & = 1 + {x \over {x + 1}} = {{x + 1 + x} \over {x + 1}} \cr&= {{2x + 1} \over {x + 1}} \;\;\;(2)\cr} \)  

Áp dụng (2) ta có :

\(\eqalign{
& 1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}= 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}}}\cr & = 1 + {{x + 1} \over {2x + 1}} = {{2x + 1 + x + 1} \over {2x + 1}} \cr & = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

LG b.

Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức \(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}}}\)

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng các phép toán cộng và chia hai phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau :

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có \(4\) gạch phân số thì kết quả là \(\dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\), và trong trường hợp này có \(5\) gạch phân số, kết quả sẽ là \(\dfrac{{8x + 5}}{{5x + 3}}\) .

Thật vậy :

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{3x + 2}}{{2x + 1}}}} = 1 + \dfrac{{2x + 1}}{{3x + 2}}\)

\( = \dfrac{{3x + 2 + 2x + 1}}{{3x + 2}} = \dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\)

Do đó

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}}}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}}} = 1 + \dfrac{{3x + 2}}{{5x + 3}}\)

\( = \dfrac{{5x + 3 + 3x + 2}}{{5x + 3}} = \dfrac{{8x + 5}}{{5x + 3}}\)