Câu 5 trang 210 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

            \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C) của hàm số f

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}\\y' = 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên  \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right) =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right) =  + \infty \end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}} = 0\)

\( \Rightarrow x = 1;y = x - 1\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

            \(g\left( x \right) = {{{x^2} - 2\left| x \right|} \over {\left| x \right| - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

g là một hàm số chẵn nên đồ thị \(({C_1})\) của đồ thị đối xứng qua trục tung. Với \(x \ge 0,\) ta có

            \(g\left( x \right) = {{{x^2} - 2x} \over {x - 1}} = f\left( x \right)\)

Do đó, muốn có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) của hàm số g ta bỏ đi phần đường cong (C) nằm bên trái trục tung, giữ lại phần của đường cong (C) nằm bên phải trục tung (ứng với các giá trị \(x \ge 0,x \ne 1\)) và bổ xung thêm hình đối xứng của phần đường cong này qua trục tung.

LG c

Với các giá trị nào của m thì phương trình

             \({x^2} - 2\left| x \right| = m\left( {\left| x \right| - 1} \right)\)

có bốn nghiệm thực phân biệt ?

Lời giải chi tiết:

\(m > 0\)

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

            \({{{x^2} - 2\left| x \right|} \over {\left| x \right| - 1}} = m\)

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm \(\left( {{C_1}} \right)\) và đường thẳng \(y = m\)