Câu 1 trang 209 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số:

            \(f\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x}\)

LG a

Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi x < 0

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 1 + x - {e^x},f''\left( x \right) = 1 - {e^x}\)

\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi x < 0.

LG b

Chứng minh bất đẳng thức

            \(1 + x < {e^x} + x + {{{x^2}} \over 2}\) với mọi x < 0

Lời giải chi tiết:

Từ a) suy ra f nghịch biến trên nửa khoảng\(\left( { - \infty ;0} \right]\). Do đó

 \(f(x) > f(0)\) , với mọi x < 0,

Hay \(1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x} > 0\) với mọi x < 0