Câu 14 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R. Chứng minh

LG a

\(\int\limits_0^a {{x^3}f\left( {{x^2}} \right)} dx = {1 \over 2}\int\limits_0^{{a^2}} {xf\left( x \right)dx} \) với a > 0

Lời giải chi tiết:

Biến đổi \(u = {x^2}\)

LG b

\(\int\limits_0^\pi  {xf\left( {\sin x} \right)} dx = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {f\left( {\sin x} \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Biến đổi \(u = \pi  - x\), ta có \(du =  - dx\)  và

            \(\eqalign{& I = \int\limits_0^\pi  {xf\left( {\sin x} \right)} dx =  - \int\limits_0^\pi  {\left( {\pi  - u} \right)f\left( {\sin u} \right)} du  &  = \int\limits_0^\pi  {\left( {\pi  - u} \right)f\left( {\sin u} \right)} du = \pi \int\limits_0^\pi  {f\left( {\sin u} \right)} du - 1 \cr} \)

Suy ra \(I = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {f\left( {\sin x} \right)} dx\)