Bài 83 trang 33 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Tìm \(n \in\mathbb Z\)  để  \(2{n^2} - n + 2\)  chia hết cho \(2n +1\).

Lời giải chi tiết

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{2{n^2} - n + 2} \over {2n + 1}} \cr
& = {{2{n^2} + n - 2n - 1 + 3} \over {2n + 1}} \cr
& = {{\left( {2{n^2} + n} \right) + \left( { - 2n - 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr
& = {{n\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr
& = {{\left( {2n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr
& = n - 1 + {3 \over {2n + 1}} \cr} \)

Để \(2{n^2} - n + 2\) chia hết cho \(2n  + 1\) (với \(n \in\mathbb Z)\) thì \(2n + 1\) phải là ước của \(3\), hay \( 2n+1 \in \{1;\;-1;\; 3;\; -3\} \).

+)  \(2n + 1 = 1 \Rightarrow  2n = 0  \Rightarrow n = 0\)

+)  \(2n + 1 =  - 1 \Rightarrow 2n = - 2 \Rightarrow n =  - 1\) 

+)  \(2n + 1 = 3 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1\)

+)  \(2n + 1 =  - 3 \Rightarrow 2n =  - 4 \Rightarrow n =  - 2\)

Vậy \(n \in \{  \;-2; -1;0\,;\; 1\}\)