Bài 99 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Gọi \(AM, BN, CL\) là ba đường cao của tam giác \(ABC\). Chứng minh:

a) \(∆ANL\) đồng dạng \(∆ABC\);

b) \(AN.BL.CM\) \(= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác \(BNA\) và \(CLA\), ta có:

\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)

\(\widehat A\) chung

Suy ra \(∆BNA\) đồng dạng \(∆CLA\) (g.g)

Suy ra: \(\displaystyle {{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(ANL\), ta có:

\(\displaystyle {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

\(\widehat A\) chung

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng \(∆ANL\) (c.g.c)

b) \(ABN\) vuông tại \(N\) nên \(AN = AB.\cos \widehat B\,(1)\)

\(∆BCL\) vuông tại \(L\) nên \(BL = BC.\cos \widehat B\,(2)\)

\(∆ACM\) vuông tại \(M\) nên \(CM = AC.\cos \widehat C\,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

\(AN.BL.CM \)\(= AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)