Bài 91 trang 121 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) có hai cạnh bên là \(AD\) và \(BC\) bằng nhau, đường chéo \(AC\) vuông góc với cạnh bên \(BC\). Biết \(AD = 5a\), \(AC = 12a.\)

a) Tính \({{\sin B + c{\rm{osB}}} \over {\sin B - c{\rm{osB}}}}.\)

b) Tính chiều cao của hình thang \(ABCD\).

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {(5a)^2} + {(12a)^2}\)\( = 169{a^2}\)

Suy ra: \(AB = \sqrt {169{a^2}}  = 13a\)

Ta có: \(\sin \widehat B = \displaystyle {{AC} \over {AB}} = {{12a} \over {13a}} = {{12} \over {13}}\)

\(\cos \widehat B = \displaystyle {{BC} \over {AB}} = {{5a} \over {13a}} = {5 \over {13}}\)

Suy ra: 

\(\displaystyle {{\sin \widehat B + \cos \widehat B} \over {\sin \widehat B - \cos \widehat B}} = \displaystyle {{{{12} \over {13}} + {5 \over {13}}} \over {{{12} \over {13}} - {5 \over {13}}}}\)\( = \displaystyle {{{{17} \over {13}}} \over {{7 \over {13}}}} = {{17} \over {13}}.{{13} \over 7} = {{17} \over 7}\)

b) Kẻ \(CH \bot AB\)

Trong tam giác vuông \(BCH\), ta có:

\(CH = CB.\sin \widehat B = 5a.\displaystyle {{12} \over {13}} = {{60a} \over {13}}\)