Bài 94 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\). Biết hai đáy \(AB = a\) và \(CD = 2a\), cạnh bên \(AD = a\), \(\widehat A = 90^\circ \)

a) Chứng minh \(tan\widehat C = 1.\) 

b) Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD.

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(BH \bot CD\) 

Ta có: \(AB // CD\) và \(\widehat A = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat D = 90^\circ \)

Tứ giác \(ABHD\) có ba góc vuông và \(AB = AD = a\) nên là hình vuông.

Suy ra: \(DH = BH = AB = a\)

Ta có: \(CD = DH + HC\)

Suy ra: \(HC = CD – DH = 2a – a = a\)

Vậy \(tan\widehat C = \displaystyle {{BH} \over {CH}} = {a \over a} = 1\)

b) Ta có: \({S_{BCD}} = \displaystyle {1 \over 2}BH.CD = {1 \over 2}a.2a = {a^2}\) (đvdt)

\({S_{ABCD}} = \displaystyle {{AB + CD} \over 2}.AD\)\( = \displaystyle {{a + 2a} \over 2}.a = {3 \over 2}{a^2}\) (đvdt)

Vậy \({{{S_{BCD}}} \over {{S_{ABCD}}}} = \displaystyle {{{a^2}} \over {{3 \over 2}{a^2}}} = {1 \over {{3 \over 2}}} = {2 \over 3}.\)

c) Diện tích tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) là: \({S_{ADC}} = \displaystyle {1 \over 2}AD.DC\)\( =\dfrac{1}{2}a.2a=a^2\) (đvdt)

Mà \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{2}a^2\) (theo câu b)

Ta có: \({S_{ABC}} =S_{ABCD}-S_{ADC}=\dfrac{3}{2}a^2-a^2\)\(= \displaystyle {1 \over 2}a.a = {1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)

Vậy \(\displaystyle {{{S_{ABC}}} \over {{S_{BCD}}}} = {{{1 \over 2}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 2}\)

(với đvdt: đơn vị diện tích)