Bài 90 trang 121 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 6cm\), \(AC = 8cm.\)

a) Tính \(BC,\widehat B,\widehat C\);

b) Phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\). Tính \(BD, CD\).

c) Từ \(D\) kẻ \(DE\) và \(DF\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\). Tứ giác \(AEDF\) là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác \(AEDF\).

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} \cr 
& = 36 + 64 = 100\,(cm) \cr} \)

Suy ra: \(BC = \sqrt {100}  = 10\,(cm)\)

Ta có: \(\sin C =\displaystyle {{AB} \over {AC}} = {6 \over {10}} = 0,6\)

Suy ra: \(\widehat C = 36^\circ 52'\)

Ta có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 36^\circ 52'\)\( = 53^\circ 8'\)

b) Ta có: 

\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác)

Suy ra: \(\displaystyle {{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

Suy ra: \(BD = \displaystyle {{BC.AB} \over {BC}} = {\displaystyle {{{40} \over 7}.6} \over {10}} = {{24} \over 7}\,(cm)\)

\(DC=BC-BD\)\(=10-\dfrac{24}{7}\)\(=\dfrac{46}{7}\)

c)

Tứ giác \(AEDF\) có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.

Mặt khác, \(D\) nằm trên tia phân giác của góc \(A\) nên \(DE=DF\)

Vậy tứ giác \(AEDF\) là hình vuông.

Chu vi tứ giác \(AEDF\) bằng: \(4AE = 4.\displaystyle {{24} \over 7} = {{96} \over 7}\,(cm)\)

Diện tích tứ giác \(AEDF\) bằng: \(A{E^2} = \displaystyle {\left( {{{24} \over 7}} \right)^2} = {{576} \over {49}}\,\left( {c{m^2}} \right)\)