Bài 1.4 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = 120^\circ \), \(AB = a,\) \(BC = b\). Các đường phân giác của bốn góc \(A, B, C, D\) cắt nhau tạo thành tứ giác \(MNPQ\). Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\).

Lời giải chi tiết

Đường phân giác của góc \(A\) cắt đường phân giác của góc \(D\) tại \(M\) thì tam giác \(ADM\) có hai góc bằng 

\(60^{\circ}\) và \(30^{\circ}\) nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau. Lập luận đó chứng tỏ hình \(MNPQ\) có \(4\) góc vuông nên \(MNPQ\)  là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông ADM có \(DM = AD\sin \widehat {DAM} = b\sin 60^\circ\)\(  = \displaystyle {{b\sqrt 3 } \over 2}.\)

Trong tam giác vuông \(DCN\) ( \(N\) là giao của đường phân giác góc \(D\) và đường phân giác góc \(C\)) có \(DN = DC\sin \widehat {DCN}{\rm{ = asin60}}^\circ {\rm{ = }}\)\(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}.\)

Vậy \(MN = DN - DM = (a - b){{\sqrt 3 } \over 2}.\)

Trong tam giác vuông \(DCN\) có \(CN = CD\cos 60^\circ  = {a \over 2}.\) Trong tam giác vuông \(BCP\) ( \(P\) là giao của đường phân giác góc \(C\) với đường phân giác góc \(B\)) có \(CP = CB\cos 60^\circ  = \displaystyle {b \over 2}.\)

Vậy: \(NP = CN - CP = \displaystyle {{a - b} \over 2}.\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là 

\(MN \times NP = {(a - b)^2}\displaystyle {{\sqrt 3 } \over 4}\)