Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CD\). Tính  \(cos\;\widehat {MAN}\)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác cân \(AMN\). Ta có \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\) và diện tích tam giác \(AMN\) là:

\({S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\)\( = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \) 
\(= \displaystyle {1 \over 2}A{N^2}\sin \widehat {NAM} \)

\( = \displaystyle {1 \over 2}(A{D^2} + D{N^2})\sin \widehat {NAM}\)\( = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)

Mặt khác:

\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADM}}\)\( - {S_{MNC}} \) 
\(= 4{a^2} - 2{a^2} - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)\( = {\displaystyle {3{a^2}} \over 2}. \)

Suy ra \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {3 \over 5}\)

Từ đó: 

\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\)\(  = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}}  = \displaystyle {4 \over 5}.\)