Câu 2.98 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\({5^{{7^x}}} = {7^{{5^x}}};\)

Lời giải chi tiết:

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai về rồi chia cả hai vế cho \({5^x}\) , ta được

       \({\left( {\dfrac{7}{5}} \right)^x} = {\log _5}7\).

Vậy \(x = {\log _{{7 \over 5}}}({\log _5}7)\)

LG b

\({5^x}{.8^{{{x - 1} \over x}}} = 500\)

Lời giải chi tiết:

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ,ta được

 \({\log _5}{5^x} + {\log _5}{8^{{{x - 1} \over x}}} = {\log _5}500\)

\( \Leftrightarrow x + {{x - 1} \over x}.3{\log _5}2 = 3 + 2{\log _5}2\) .

\( \Leftrightarrow {x^2} + x.3{\log _5}2-3{\log _5}2\\=x( 3 + 2{\log _5}2)\)(Nhân 2 vế với x)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x(3{\log _5}2 - 2{\log _5}2 - 3)\\ - 3{\log _5}2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x({\log _5}2 - 3) - 3{\log _5}2 = 0\)

\( \Leftrightarrow ({x^2} + x{\log _5}2)  - (3{\log _5}2 +3x)= 0\)

\( \Leftrightarrow (x+{\log _5}2) (x-3)= 0\)

Phương trình này có hai nghiệm \(x = 3\) và \(x =  - {\log _5}2\).

LG c

\({5^{3 - {{\log }_5}x}} = 25x;\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x>0\)

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế, ta được:

\(3-{{\log }_5}x=2+{{\log}_5}x\)\(\Leftrightarrow {{\log}_5}x =\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x = \sqrt 5 \)

LG d

\({x^{ - 6}}{3.^{ - {{\log }_x}3}} = {3^{ - 5}}.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\) . Lấy lôgarit cơ số \(x\) cả hai vế rồi đặt \(t = {\log _x}3\), dẫn đến phương trình \({t^2} - 5t + 6 = 0\) .

Vậy \(x = \sqrt 3 \) và \(x = \root 3 \of 3 \)