Câu 2.104 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\({x^{{{\log }_2}9}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {x^{{{\log }_2}3}};\)

Phương pháp giải:

Tổng hai hàm nghịch (đồng) biến là hàm nghịch (đồng) biến

Lời giải chi tiết:

Điều kiện x > 0. Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , ta có

\({9^{{{\log }_2}x}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {3^{{{\log }_2}x}};\)        (1)

Chia hai vế của (1) cho \({3^{{{\log }_2}x}}\) ta có

\({3^{{{\log }_2}x}} = {x^2}-1\)

Đặt \({\log _2}x = t\), ta có \(x = {2^t}\) dẫn đến phương trình

\({3^t} = {4^t} - 1\) , tức là \({\left( {{3 \over 4}} \right)^t} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^t} = 1\)       (2)

Vế trái của (2) là hàm nghịch biến (vì các cơ số \({3 \over 4} < 1;{1 \over 4} < 1\)), còn về vế phải của (2) là hằng số, nên phương trình có nghiệm duy nhất \(t = 1\) . Suy ra \(x = 2\)

LG b

\({3^x} - 4 = {5^{{x \over 2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Chia cả hai vế của phương trình cho \({3^x}\left( { = {{\left( {\sqrt 9 } \right)}^x}} \right)\) , ta có

\(4{\left( {\sqrt {{1 \over 9}} } \right)^x} + {\left( {\sqrt {{5 \over 9}} } \right)^x} = 1\)  (1)

Vế trái (1) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Lại có \(x=2\) là nghiệm của (1) do đó \(x=2\) là nghiệm duy nhất của (1)