Câu 2.91 trang 85 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\({3^{2x + 4}} + {45.6^x} - {9.2^{2x + 2}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Chia cả hai vế cho \({6^x}\), rồi đặt  \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^x}(t > 0)\) dẫn đến phương trình \(9{t^2} + 5t - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1\left( \text{loại} \right) \hfill \cr 
t = {4 \over 9} \hfill \cr} \right.\)

Với \(t = {4 \over 9}\) ta có: \({\left( {{3 \over 2}} \right)^x} = {4 \over 9} \Leftrightarrow x =  - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=-2\)

LG b

\({8^{x + 1}} + 8{(0,5)^{3x}} + {3.2^{x + 3}}\\ = 125 - 24.{(0,5)^x}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{8^{x + 1}} + 8{(0,5)^{3x}} + {3.2^{x + 3}} \\= 125 - 24.{(0,5)^x}\\ \Leftrightarrow {8.2^{3x}} + 8.\dfrac{1}{{{2^{3x}}}} + {24.2^x} + 24.\dfrac{1}{{{2^x}}} \\= 125\\ \Leftrightarrow 8\left( {{2^{3x}} + \dfrac{1}{{{2^{3x}}}}} \right) + 24\left( {{2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}}} \right)\\ = 125\end{array}\)

Đặt \(y = {2^x} + {1 \over {{2^x}}}\) với \(y \ge 2\), ta có

 \(8({y^3} - 3y) + 24y = 125 \Leftrightarrow {y^3} = {{125} \over 8}\\ \Leftrightarrow y = {5 \over 2}\)

Khi đó  \({2^x} + {1 \over {{2^x}}} = {5 \over 2}\), dẫn đến phương trình \({t^2} - {5 \over 2}t + 1 = 0\) với \(t = {2^x}(t > 0)\)

Giải phương trình ẩn t này, ta tìm được \(t = 2\) và \(t = {1 \over 2}\)

Với \(t = 2\)  thì  \({2^x} = 2\), tức là \(x = 1\)

Với \(t = {1 \over 2}\)  thì  \({2^x} = {1 \over 2}\), tức là \(x =  - 1\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x=-1\) và \(x=1\)