Câu 2.102 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\({6^x} + {8^x} = {10^x};\)

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế cho \({10^x}\) , ta được \({\left( {{3 \over 5}} \right)^x} + {\left( {{4 \over 5}} \right)^x} = 1\)  rồi chứng tỏ rằng \(x = 2\) là nghiệm duy nhất

Ta tìm được \(x = 2\)

LG b

\({\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^x} = \sqrt {{{10}^x}} ;\)

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế cho \(\sqrt {{{10}^x}} \), ta được

  \(\sqrt {{{\left( {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^x}  }+ \sqrt {{{\left( {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^x}}  = 1\)

Đặt vế trái là \(f(x)\) ta thấy \(f(2) = 1\)

Với \(x > 2\) , ta có

\(f(x) = \sqrt {{{\left( {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^x}  }+ \sqrt {{{\left( {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^x}} \\ < \sqrt {{{\left( {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^2}  }+ \sqrt {{{\left( {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right)}^2}}  = 1\)

Với \(x < 2\) , tương tự ta có \(f(x) > 1\) .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\) .

LG c

\({\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = {2^x};\)

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế cho \({2^x}\)

Ta tìm được \(x = 2\)

LG d

\({3^x} - {\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + {2^x} - {\left( {{1 \over 2}} \right)^x} - {\left( {{1 \over 6}} \right)^x} =  - 2x + 6.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f(x) = {3^x} - {\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + {2^x} - {\left( {{1 \over 2}} \right)^x} - {\left( {{1 \over 6}} \right)^x}\) ;\(g(x) =  - 2x + 6\) . Dễ thấy \(f(x)\) đồng biến trên R (Xét dấu đao hàm) ; \(g(x)\)  nghịch biến trên R và \(f(1) = g(1) = 4\)

Với \(x > 1\) ta có \(f(x) > f(1) = g(1) > g(x)\) ;

Với \(x < 1\) ta có \(f(x) < f(1) = g(1) < g(x)\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\)