Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

LG a

\({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({5^{x + 1}} = t\left( {t > 0} \right)\) . Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình \({t^2} - 5t + m = 0\) (1) có ít nhất một nghiệm dương.

Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta  = 25 - 4m \ge 0\)  hay \(m \le \dfrac{25}{4}\). Gọi các nghiệm của (1) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = 5\) suy ra  \({t_2} > 0\). Do đó nếu (1) có nghiệm thì luôn có nghiệm dương.

Suy ra phương trình (1) có ít nhất nghiệm dương \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\)

Hay phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\).

LG b

\({\left( {{1 \over 9}} \right)^x} - m.{\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + 2m + 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\). Bài toán trở thành

Tìm m để phương trình \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0\) (2) có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để (2) có nghiệm là  \(\Delta  = {m^2} - 4\left(2 {m + 1} \right)\\ = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\)

hay \(m \le 4 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \)

Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét

  \({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\)

- Với \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \(m <  - {1 \over 2}\) thì \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \( - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} < 0\) và \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_1} < {t_2} < 0\)

Vậy với \(m <  - {1 \over 2}\) hoặc \(m \ge 4 + \sqrt 5 \) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với

 \(\Delta  = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\)