Câu 2.109 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tùy theo m ,hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

                                \(\left( {m - 3} \right){.9^x} + 2\left( {m + 1} \right){.3^x} - m - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(y = {3^x}(y > 0)\), ta có

  \(\left( {m - 3} \right){y^2} + 2\left( {m + 1} \right)y - \left( {m + 1} \right) = 0\) (1)

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm dương của (1)

- Xét \(m = 3\) thì (1) có nghiệm \(y = {1 \over 2}\) (thỏa mãn \(y > 0\))

- Nếu \(m \ne 3\)  thì

\(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \)

\(= 2\left( {m + 1} \right)\left( {m - 1} \right)\)

Đặt \(f(y) = \left( {m - 3} \right){y^2} + 2\left( {m + 1} \right)y - \left( {m + 1} \right)\), ta có:

       \(\eqalign{& \left( {m - 3} \right)f(0) = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right)  \cr& S = {{2\left( {m + 1} \right)} \over {3 - m}} \cr} \)

Lập bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có:

- Với \(m\le - 1\) hoặc \(m \ge 3\) hoặc \(m = 1\) thì phương trình có một nghiệm,

- Với \( - 1 < m < 1\) thì phương trình vô nghiệm.

- Với \(1 < m < 3\) thì phương trình có hai nghiệm.