Câu 2.105 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Cho a >1, b >1. Chứng minh rằng, nếu phương trình \({a^x} + {b^x} = c\) có nghiệm \({x_0}\) thì nghiệm đó là duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Khi a >1, b >1 thì các hàm số \(y = {a^x}\), \(y = {b^x}\) đồng biến.

Với \(x > {x_0}\) ta có \({a^x} > {a^{{x_0}}};{b^x} > {b^{{x_0}}}\). Vì vậy  \({a^x} + {b^x} > {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c\)

Với \(x < {x_0}\) ta có \({a^x} < {a^{{x_0}}};{b^x} < {b^{{x_0}}}\). Vì vậy \({a^x} + {b^x} < {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c\)

Do đó phương trình \({a^x} + {b^x} = c\) có nghiệm \({x_0}\) thì nghiệm đó là duy nhất.

LG b

Chứng minh kết quả tương tự với trường hợp 0< a < 1 và 0<b<1

Lời giải chi tiết:

Cách giải tương tự như câu a), với lưu ý khi \(0 < a < 1,0 < b < 1\) thì các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\)nghịch biến.

Câu a) và b) được minh họa bởi các ví dụ sau:

  \({4^x} + {6^x} = {13.2^x} \Leftrightarrow {2^x} + {3^x} = 13\) có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

 \({16^x} + {9^x} = {25^x} \Leftrightarrow {\left( {{{16} \over {25}}} \right)^x} + {\left( {{9 \over {25}}} \right)^x} \\= 1\) có nghiệm duy nhất \(x = 1\)