Câu 2.110 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Giải phương trình sau:

                  \(2{\log _3}\cot x = {\log _2}\cos x\)

Lời giải chi tiết

\(x = {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn: Điều kiện \({\rm{cos }}x > 0,\sin x > 0\)

Đặt \({\log _2}\cos x = t = {\log _3}{\cot ^2}x\), ta có \(\left\{ \matrix{{\cot ^2}x = {3^t} \hfill \cr{\rm{cos }}x = {2^t} \hfill \cr}  \right.\)

Do \({\cot ^2}x = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\) nên dẫn đến \({{{{\left( {{2^t}} \right)}^2}} \over {1 - {{\left( {{2^t}} \right)}^2}}} = {3^t}\) hay \({4^t} + {12^t} = {3^t}\)

Chia cả 2 vế cho \(4^t\) rồi sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, ta thấy vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất \(t =  - 1\)

Do đó \({\rm{cos }}x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Với điều kiện \(\cos x > 0,\sin x > 0\), chỉ có nghiệm  \(x = {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) là thích hợp.