Giải mục 2 trang 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hoạt động 4

Tính \(\sin 2a,\,\,\cos 2a,\,\,\tan 2a\) bằng cách thay \(b = a\) trong công thức cộng.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức cộng để khai triển

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin a.\cos a + \cos a.\sin a = 2\sin a\cos a\)

\(\begin{array}{l}\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos a.\cos a - \sin a.\sin a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a.\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Luyện tập - Vận dụng

Cho \(\tan \frac{\alpha }{2} =  - 2\). Tính \(\tan \alpha \)

Phương pháp giải:

 Sử dụng công thức nhân đôi

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhân đôi ta có:

\(\tan \alpha  = \frac{{2.\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2.( - 2)}}{{1 - {{( - 2)}^2}}} = \frac{4}{3}\)

Luyện tập - Vận dụng

Tính \(\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Mà \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

Ta có : \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\)

Mà \(\cos \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\)