Bài 1. Giới hạn của dãy số Toán 11 Cánh diều

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (left( {{u_n}} right),) với ({u_n} = frac{1}{n}) trên hệ trục tọa độ.

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\) a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\) c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\) a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1. b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Tính \(\lim \left( { - {n^3}} \right).\)

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau: a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{5n + 1}}{{2n}};) b) (lim frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};) c) (lim frac{{sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};) d) (lim left( {2 - frac{1}{{{3^n}}}} right);) e) (lim frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};) g) (lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.)

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = frac{2}{3},q = - frac{1}{4}.) b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số