Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hoạt động 4

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.

b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi  \(n \to  + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).

- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)

b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)

Luyện tập, vận dụng 5

Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q =  - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)

Luyện tập, vận dụng 6

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).

Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.

Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa. 

Để chạy hết quãng đường OA₁ =100 (km), A-sin phải mất thời gian t₁ =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h). 

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₁A₂ =1 (km).

Để chạy hết quãng đường A₁A₂ =1 (km), A-sin phải mất thời gian t₂ = \(\frac{1}{{100}}\) (h). 

Với thời gian t₂ rùa đã chạy thêm được quãng đường A₂A₃ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A_n-1A_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), A-sin phải mất thời gian t_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). 

Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,...  là: 

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)

Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ. 

Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.