Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Đề bài

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁  là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2},\), C₂  là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4},...\) 

Gọi p_n  là độ dài của C_n, S_n  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n  và đoạn thẳng AB. 

a) Tính p_n, S_n. 

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n). 

Lời giải chi tiết

a) Vì C_n là nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}}\) nên ta có \({p_n} = \frac{1}{2}{.2^n}.\frac{{AB}}{{{2^n}}}.\pi  = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi  = \pi R\)

Đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}} = \frac{{2R}}{{{2^n}}}\) nên bánh kính \(\frac{R}{{{2^n}}}\)

\({S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

b)  \(\begin{array}{l}\lim {p_n} = \lim \left( {\pi R} \right) = \pi R\\\lim {S_n} = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}} = \lim \left[ {\frac{{\pi {R^2}}}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\end{array}\)