Bài 3 trang 160 SGK Đại số 10

Cho phương trình:  \({x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0\)

LG a

Xem xét với giá trị nào của \(m\), phương trình trên có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 1.9{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow - 5{m^2} + 18m - 9 \ge 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{5} \le m \le 3
\end{array}\)

Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5}; \, 3} \right]\)

LG b

Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào \(m\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với  \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn

\(x_1+x_2= 4m\) (1)  và   \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\)   (2)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4}\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 9{\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 9.\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)}^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow 16{x_1}{x_2} = 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\end{array}\)

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m.\)

LG c

Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_2 > x_1.\)

Khi đó ta có: \(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m \)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} - {x_1} = 4\\
{x_2} + {x_1} = 4m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_2} = 4 + 4m\\
{x_2} - {x_1} = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + 2m\\
{x_1} = {x_2} - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + 2m\\
{x_1} = 2m - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\
\Rightarrow \left( {2 + 2m} \right)\left( {2m - 2} \right) = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4m + 4{m^2} - 4 - 4m = 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 4 = 9{m^2} - 18m + 9\\
\Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = \dfrac{{13}}{5}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\).