Bài 6 trang 160 SGK Đại số 10

LG a

Xét dấu biểu thức: \(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai: “Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì rong khoảng hai nghiệm trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với \(a\)”.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = 2{x^2} + 4x - \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ = {x^2} + x - 2\end{array}\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 2\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 1,{x_2} =  - 2\) nên:

+) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 2\end{array} \right.\)

+) \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

+) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\
= \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right).
\end{array}\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
x - 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \le 0\\
x - 1 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \ge 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right..
\end{array}\) 

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 > 0\\
x - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 < 0\\
x - 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > - 2\\
x < 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < - 2\\
x > 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < x < 1.
\end{array}\)

Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {-\infty;\; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

\(f(x) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;\;1} \right).\)

\(f(x)=0\) khi \(x=-2\) hoặc \(x=1\).

LG b

Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

\(y = 2x(x+2) (C_1)\) và \(y = (x+2)(x+1) (C_2).\)

Tính tọa độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của \((C_1)\) và \((C_2)\)

Lời giải chi tiết:

*) Hàm số: \(y = 2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x.\)

+) Tập xác định: R.

\(\begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2.2}} = - 1\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 2
\end{array}\)

Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \(\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {0;\;0} \right).\)

+) Trục đối xứng \(x=-1\)

+) Đỉnh: \(\left( { - 1;\; - 2} \right).\)

*) Xét hàm số \(y = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 3x + 2.\)

\(\begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{{2.1}} = - \dfrac{3}{2}\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right)\)

Bảng biến thiên

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \(\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {-1;\;0} \right).\)

+) Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{3}{2}\)

+) Đỉnh: \(\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{4}} \right)\)

Đồ thị (C₁) và (C₂)

Hoành độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình

Quan sát đồ thị ta thấy hai giao điểm \( A(-2; 0) , B(1; 6)\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
2x\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow y = 0\\
x = 1 \Rightarrow y = 6
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A\left( { - 2;0} \right),B\left( {1;6} \right)
\end{array}\)

LG c

Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2+ bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng \(8\) và đồ thị của nó đi qua \(A\) và \(B\).

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A và B nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2b + c = 0\\a + b + c = 6\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 3b = - 6\\
c = 6 - \left( {a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = - 2\\
c = 6 - \left( {a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b - 2\\
c = 6 - \left( {b - 2 + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b - 2\\
c = 8 - 2b
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4ac - {b^2} = 32a\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có:

+) Với \(b = 0\) ta có: \(a =  - 2,\;\;c = 8 \Rightarrow y =  - 2{x^2} + 8.\)

+) Với \(b = \dfrac{{16}}{9}\) thì \(a =  - \dfrac{2}{9},\;\;c = \dfrac{{40}}{9}\)\( \Rightarrow y =  - \dfrac{2}{9}{x^2} + \dfrac{{16}}{9}x + \dfrac{{40}}{9}.\)