Bài 2 trang 160 SGK Đại số 10

Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

LG a

Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

\(\eqalign{&  \, \Delta ' = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) \cr&= 4{m^2} + m + 1 \cr } \)

\(\begin{array}{l}
= \left( {4{m^2} + 2.\dfrac{1}{4}.2m + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16}}\\
= {\left( {2m + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{{16}} > 0,\forall m
\end{array}\)

Vậy với \(m ≠ 0\) phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.

LG b

Tìm giá trị của \(m\) để \(- 1\) là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow m{\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) - 4m - 1 = 0\\
\Leftrightarrow m + 2 - 4m - 1 = 0\\
\Leftrightarrow - 3m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}
\end{array}\)

Với \(m = {1 \over 3}\) , phương trình có nghiệm \(x_1= -1\).

Gọi nghiệm còn lại là \(x_2\).

Theo định lí Vi-et: 

\({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{m}\) \( \Rightarrow {x_2} = \dfrac{2}{m} - {x_1} = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{3}}} - \left( { - 1} \right) = 7\)

Vậy nghiệm còn lại là \({x_2} = 7\).