Bài 6 trang 201 SBT Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) .

LG a

Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).

Lời giải chi tiết:

(E) có tiêu điểm\({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\)  nên \(c = \sqrt 3 .\)

Phương trình chính tắc của (E) có dạng

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)

Ta có : \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in (E)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Và   \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\frac{1}{{{b^2} + 3}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1 \) \(\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3)\)

\( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\) .

Suy ra \({a^2} = 4.\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0), (0 ; -1) và (0 ; 1).

LG b

Viết phương trình chính tắc của (E).

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của (E) là :

\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

LG c

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Lời giải chi tiết:

(E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) . Đường thẳng\(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3 .\)

Phương trình tung độ giao điểm của\(\Delta \) và (E) là :

\(\frac{3}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) \( \Leftrightarrow {y^2} =  \pm \frac{1}{2}.\)

Suy ra tọa độ của C và D là : \(C\left( {\sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right)\)

Vậy CD = 1.