Bài 16 trang 203 SBT Hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp (T) của có có phương trình là \({\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\) . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Đường tròn (T) có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0} \right)\) và bán kính \(R = \frac{5}{2}\) .

\(\overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI}  = \left( {5;0} \right)\) suy ra B(5 ; 0). Đặt A(x ; y) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {y^2}}  = 12\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2}\\\left[ {{x^2} + 5x - {x^2}} \right]\left[ {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 5x - {x^2}} \right] = 144\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 5x - {x^2}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{{16}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy ta được \(A\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\) , \(C\left( {\frac{6}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right)\)

Hoặc \(A\left( {\frac{9}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right)\) , \(C\left( {\frac{6}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\) .