Bài 15 trang 203 SBT Hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(AB:3x + 5y - 33 = 0\) ; đường cao \(AH:7x + y - 13 = 0\); trung tuyến \(BM:x + 6y - 24 = 0\) (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải chi tiết

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB)\\7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(AH).\end{array} \right.\)  Vậy A(1 ; 6)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB)\\x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(BM)\end{array} \right.\)  Vậy B(6 ; 3).

Đặt \(C(x;y)\) ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ \(M\left( {\frac{{x + 1}}{2};\frac{{y + 6}}{2}} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {x - 6;y - 3} \right)\)

\({\overrightarrow u _{AH}} = (1; - 7)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in BM\\\overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + 6\left( {\frac{{y + 6}}{2}} \right)\\x - 6 - 7(y - 3) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 6y - 11 = 0\\x - 7y + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2.\end{array} \right.\)

Phương trình cạnh \(BC:x - 7y + 15 = 0\)

Phương trình cạnh \(AC:2x - y + 4 = 0.\)