Bài 17 trang 203 SBT Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn :

(C1) :\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và (C2) : \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) .

LG a

Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) , (C2)  cắt nhau ;

Lời giải chi tiết:

(C1) có tâm I(2 ; 2) và bán kính \({R_1} = 2\)

(C2) có tâm J(5 ; 3) và bán kính \({R_2} = 4\).

Ta có \(IJ = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .\)

Do \({R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1}\) nên (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

LG b

Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) và \({\Delta '}\) là hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) .

\(\Delta \) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A, B. \({\Delta '}\) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại \({A'},{B'}\) . Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}d(I,\Delta ) = d(I,{\Delta '}) = {R_1} = 2\\d(J,\Delta ) = d(J,{\Delta '}) = {R_2} = 4\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow IJ,\Delta \) và \({\Delta '}\) đồng quy tại M.

\(\frac{{JM}}{{IM}} = \frac{{JB}}{{IA}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {JM}  = 2\overrightarrow {JI} \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 5 = 2.\left( {2 - 5} \right)\\{y_M} - 3 = 2.(2 - 3\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} =  - 1\\{y_M} = 1.\end{array} \right.\)

Vậy ta được M(-1 ; 1).