Bài 4 trang 201 SBT Hình học 10

Cho hai điểm A(3 ; -1), B(-1 ; -2) và đường thẳng d có phương trình \(x + 2y + 1 = 0\).

LG a

Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C.

Lời giải chi tiết:

Đặt C(x ; y), ta có : \(C \in d \Leftrightarrow x =  - 2y - 1\) . Vậy \(C( - 2y - 1;y)\) .

Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi

CA = CB \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} = {\left( { - 1 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2y} \right)^2} + {\left( {1 + y} \right)^2} = 4{y^2} + {\left( {2 + y} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{y^2} + 16y + 16 + {y^2} + 2y + 1\\ = 4{y^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 14y + 13 = 0\\ \Leftrightarrow y =  - \frac{{13}}{{14}}\end{array}\)

Do đó \(x =  - 2\left( {\frac{{ - 13}}{{14}}} \right) - 1 = \frac{{13}}{7} - 1 = \frac{6}{7}.\)

Vậy C có tọa độ là \(\left( {\frac{6}{7}; - \frac{{13}}{{14}}} \right)\) .

LG b

Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M.

Lời giải chi tiết:

Xét điểm \(M( - 2t - 1;t)\) trên d, ta có :

\(\widehat {AMB} = {90^ \circ } \Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = A{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + t} \right)^2} + 4{t^2} + {\left( {2 + t} \right)^2} = 17\)

\( \Leftrightarrow 10{t^2} + 22t + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow 5{t^2} + 11t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{1}{5}\\t =  - 2.\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\) và \({M_2}\left( {3; - 2} \right)\).