Bài 19 trang 203 SBT Hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(2;-1), phương trình một đường chéo là \(x - 7y + 15 = 0\) và độ dài cạnh AB=\(3\sqrt 2 \) . Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết \({y_B}\) là số nguyên. 

Lời giải chi tiết

Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng \(x - 7y + 15 = 0\) nên phương trình đường chéo BD là : \(x - 7y + 15 = 0\).

Tọa độ điểm B là \(B(7t - 15;t).\)

Ta có : \(AB = 3\sqrt 2  \) \(\Leftrightarrow {\left( {7t - 17} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} = 18\)

Vậy B(-1 ; 2).

Ta có \({\overrightarrow n _{AD}} = \overrightarrow {AB}  = ( - 3;3) =  - 3(1; - 1)\).

Phương trình đường thẳng AD là :

\(1.(x - 2) - 1.(y + 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\)

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x - 7y + 15 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3.\end{array} \right.\)

Vậy D(6 ; 3).

Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_C} + {x_A}}}{2} = \frac{{{x_B} + {x_D}}}{2} = \frac{5}{2}\\\frac{{{y_C} + {y_A}}}{2} = \frac{{{y_B} + {y_D}}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 6.\end{array} \right.\)

Vậy C(3 ; 6).