Bài 25 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Tìm các số c và β sao cho: \(\sin α + \cos α =c.\sin(α + β)\) với mọi α.

Lời giải chi tiết

Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ

Khi \(\alpha  = {\pi  \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)

Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta  = \cos \beta  = {1 \over C}\)

Ta có: \(\sin \beta  = \cos \beta\) \(  \Rightarrow \tan \beta  = 1 \) \( \Rightarrow \beta  = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

+) Nếu \(\beta  = \frac{\pi }{4} + k2\pi  \Rightarrow C = \sqrt 2 \)

+) Nếu \(\beta  = -\frac{3\pi }{4} + k2\pi  \Rightarrow C = -\sqrt 2 \)

Vậy:

\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr 
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

hoặc  

\(\left\{ \matrix{
\beta = -{{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr 
C = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(\sin α + \cos α =c.\sin(α + β)\) với mọi \(α\)

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) \cr &= 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr 
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr 
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha - \sin ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr 
& = - \sqrt 2 \sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr} \).

Cách khác:

\[\begin{array}{l}
\sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\left( {\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \alpha \cos \beta + c\sin \beta \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \alpha \left( {1 - c\cos \beta } \right) + \cos \alpha \left( {1 - c\sin \beta } \right) = 0,\forall \alpha \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - c\cos \beta = 0\\
1 - c\sin \beta = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \beta = \frac{1}{c}\\
\sin \beta = \frac{1}{c}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin \beta = \cos \beta = \frac{1}{c}
\end{array}\]