Bài 22 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao

LG a

Biết \(\sin \alpha  = {2 \over 3};\,\,\cos \beta  =  - {3 \over 4}\) và các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi α và β nằm ở góc phần tư thứ II. Hãy tính sin (α + β); cos(α + β); sin(α – β); cos(α – β).

Lời giải chi tiết:

Vì α và β  nằm ở góc phần tư thứ II nên sinβ > 0; cos α < 0

Do đó:

\(\eqalign{
& \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }\cr & = - \sqrt {1 - {4 \over 9}} = - {{\sqrt 5 } \over 3} \cr 
& \sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } \cr &= \sqrt {1 - {9 \over {16}}} = {{\sqrt 7 } \over 4} \cr} \)

Từ đó:

\(\eqalign{
& \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \cr&= {{3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 } \over {12}} \cr 
& \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \cr&= - {{6 + \sqrt {35} } \over {12}} \cr 
& \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cr&= {{3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 } \over {12}} \cr 
& \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \cr&= {{ - 6 + \sqrt {35} } \over {12}} \cr} \) 

LG b

Cho \(\sin 2\alpha  =  - {4 \over 5}\,\,;\,\,\,{\pi  \over 2} < \alpha  < {{3\pi } \over 4}\). Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α.

Lời giải chi tiết:

Do \({\pi  \over 2} < \alpha  < {{3\pi } \over 4} \Rightarrow \pi  < 2\alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Suy ra: cos2α < 0; sinα > 0 và cosα < 0

Vậy:

\(\eqalign{
& \cos 2\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}2\alpha } = - {3 \over 5} \cr 
& 2{\sin ^2}\alpha = 1 - \cos 2\alpha = 1 + {3 \over 5} = {8 \over 5}\cr &  \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{4}{5}\Rightarrow \sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \cr 
& \cos \alpha = - \sqrt {{{1 + \cos 2\alpha } \over 2}} = - \sqrt {{1 \over 5}} \cr 
& \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}= - 2 \cr 
& \cot \alpha =\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}= - {1 \over 2} \cr} \)