Bài 10 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

LG a

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn các hệ thức :

x₁ + x₂ + x₁x₂=0;

m(x₁ + x₂ ) - x₁x₂ = 3m + 4

Lời giải chi tiết:

Đặt S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂

Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)

\(\left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr 
mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr 
S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\) 

+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi m ≠ -1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow S = \dfrac{{3m + 4}}{{m + 1}} \) \( \Rightarrow S =  - P =  - \dfrac{{3m + 4}}{{m + 1}}\)

Vậy phương trình cần tìm là:

\(\eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:

\(\eqalign{
& \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \ge 0\cr&\Leftrightarrow  (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - {4 \over 3} \hfill \cr 
m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr} \)

Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).

LG b

Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.

Lời giải chi tiết:

Nếu S=0 thì P=0 hay \(m = - {4 \over 3}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x=0.

Nếu S>0 \( \Leftrightarrow \frac{{3m + 4}}{{m + 1}} > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr 
m > - 1 \hfill \cr} \right.\)

thì P=-S<0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Nếu S<0 \( \Leftrightarrow \frac{{3m + 4}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - \frac{4}{3} < m <  - 1\) kết hợp với (4) ta được \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P=-S>0 nên phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm (S<0,P>0).

Vậy

+ Nếu \(\left[ \matrix{m < - {4 \over 3} \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right.\) (3) có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu \(m =  - {4 \over 3}\) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0

+ Nếu \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.

+ Nếu \( - {4 \over 3} < m <  - {8 \over 7}\) thì phương trình (3) vô nghiệm.