Bài 12 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Giải các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr 
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \(y = 1- 2x\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\(\eqalign{
& {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr 
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 – 2.1 = -1\)

+ Với \(x =  - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}\)

Vậy hệ có hai nghiệm: \((-1, 1)\) và \(( - {2 \over 5};\,{9 \over 5})\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr 
x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
x + y + xy = 5
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + \left( {x + y} \right) = 8\\
\left( {x + y} \right) + xy = 5
\end{array} \right.\)

Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr 
S + P = 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) + S = 8
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
\left[ \begin{array}{l}
S = 3\\
S = - 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr 
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với S = 3, P = 2 thì (x;y) là hai nghiệm của phương trình 

\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 1\\
X = 2
\end{array} \right.\)

Do đó (x;y)=(2, 1) hoặc (1, 2).

+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S² – 4P < 0.

Vậy hệ có nghiệm (2;1) và (1;2).

LG c

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr 
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} + 2xy - \left( {x - y} \right) = 2\\
xy + \left( {x - y} \right) = - 1
\end{array} \right.\)

Đặt \(S = x - y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr 
P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = - 1 - S\\
{S^2} + 2\left( { - 1 - S} \right) - S = 2
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = -1 - S \hfill \cr 
{S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = - 1 \hfill \cr 
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = 4 \hfill \cr 
P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(S = -1, P = 0\) thì

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = - 1\\
xy = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left( { - y} \right) = -1\\
x.\left( { - y} \right) = 0
\end{array} \right.\)

Do đó, \(x, -y\) là nghiệm phương trình:

\({X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr 
X = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó 

\(\left[ \begin{array}{l}
\left( {x; - y} \right) = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\\
\left( {x; - y} \right) = \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)
\end{array} \right.\)

+ Với \(S = 4, P = -5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 4\\
xy = - 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left( { - y} \right) = 4\\
x.\left( { - y} \right) = 5
\end{array} \right.\)

Do đó, \( x; -y\) là nghiệm phương trình:

X² – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)