Bài 13 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

\({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2}  + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}  \)

\(\ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}}  =2\sqrt 4= 4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt {{a^2} + 2}  = \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \) \(\Leftrightarrow {a^2} + 2 = 4 \Leftrightarrow a =  \pm \sqrt 2 \)

LG b

\({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a},\) \((a,\,b,\,c\, \in R)\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bđt Cô-si ta có:

\({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}}  = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr 
{{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra: \(2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})\)

=>ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.