Bài 1.77 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng trong các hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và thể tích là 1000, hình lập phương có diện tích toàn phần là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(x,h\) lần lượt là kích thước cạnh đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Thể tích \(V = {x^2}h = 1000 \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)

Diện tích toàn phần:

\({S_{tp}} = 4.xh + 2.{x^2}\) \( = 4x.\frac{{1000}}{{{x^2}}} + 2{x^2}\) \( = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\)

Ta có:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\) \( = 2{x^2} + \frac{{2000}}{x} + \frac{{2000}}{x}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương \(2{x^2},\frac{{2000}}{x},\frac{{2000}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{2000}}{x} + \frac{{2000}}{x}\\ \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{2000}}{x}.\frac{{2000}}{x}}}\\ = 3\sqrt[3]{{8000000}}\\ = 600\end{array}\)

\( \Rightarrow \min {S_{tp}} = 600\) khi

\(\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{2000}}{x} \Leftrightarrow 2{x^3} = 2000\\ \Leftrightarrow {x^3} = 1000 \Leftrightarrow x = 10\\ \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{{10}^2}}} = 10\end{array}\)

Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi hình hộp đó là hình lập phương.