Bài 1.83 trang 27 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

\(y = {x^3} + (m - 1){x^2} -2 (m + 1)x + m - 2\)

LG a

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = {x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 2,\forall m\\
\Leftrightarrow y = {x^3} + m{x^2} - {x^2} - 2mx - 2x + m - 2,\forall m\\
\Leftrightarrow m\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^3} - {x^2} - 2x - 2 - y = 0,\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x + 1 = 0\\
{x^3} - {x^2} - 2x - 2 - y = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(A\left( {1; - 4} \right)\)

LG b

Chứng minh rằng mọi đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với nhau tạo một điểm.

Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y' = 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2\left( {m + 1} \right)\)

\(y'(1) =  - 1\) với mọi \(m \in R\)

Đo đó các đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\).

Tiếp tuyến tại A với \((C_m)\) là:

y=-1(x-1)-4 hay y=-x-3.

Vậy \(y =  - x - 3\).