Bài 1.76 trang 25 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng

(A) -1                                       (B) -2

(C) -3                                       (D) -4

Lời giải chi tiết

Chọn đáp án C.

Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:

\(y = k\left( {x - 1} \right) + 3\) \( \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) (d)

Cho \(x = 0\) thì \(y =  - k + 3\) nên (d) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0; - k + 3} \right)\).

Cho \(y = 0\) thì \(kx - k + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k - 3}}{k}\) nên (d) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {\frac{{k - 3}}{k};0} \right)\)

Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{k - 3}}{k} > 0\\ - k + 3 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 3\\k < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k < 0\)

Diện tích \(\Delta OAB\) là:

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{2}\frac{{k - 3}}{k}.\left( { - k + 3} \right)\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{ - {k^2} + 6k - 9}}{k}\) \( = \frac{1}{2}\left( { - k + 6 - \frac{9}{k}} \right)\)

Do \(k < 0\) nên \( - k > 0\).

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \( - k\) và \( - \frac{9}{k}\) ta có:

\( - k - \frac{9}{k} \ge 2\sqrt {\left( { - k} \right).\left( { - \frac{9}{k}} \right)}  = 2.3 = 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - k - \frac{9}{k} + 6 \ge 6 + 6 = 12\\ \Rightarrow {S_{OAB}} \ge \frac{1}{2}.12 = 6\\ \Rightarrow \min {S_{OAB}} = 6\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \( - k =  - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9\) \( \Leftrightarrow k =  - 3\) (do \(k < 0\))

Vậy \(k =  - 3\).