Bài 1.89 trang 29 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {{{x^2} - 2x - 3} \over {x - 2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x - \frac{3}{{x - 2}}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ \(x = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\) nên TCX: \(y = x\).

Ta có:

\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

LG b

Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng y = m – x cắt đường cong (C) tại hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = m - x\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = \left( {m - x} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 =  - {x^2} + mx + 2x - 2m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 2m - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm A, B nếu và chỉ nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8\left( {2m - 3} \right) > 0\\{2.2^2} - \left( {m + 4} \right).2 + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 40 > 0\,\,\,\left( {dung} \right)\\ - 3 \ne 0\,\,\,\left( {dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác \(2\).

Với mọi \(m \in R\), đường thẳng đã cho đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.

LG c

Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(m\) thì đường thẳng luôn cắt (C ) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn (*).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{\frac{{m + 4}}{2}}}{2} = \frac{{m + 4}}{4}\\ \Rightarrow m + 4 = 4{x_M} \Rightarrow m = 4{x_M} - 4\\{y_M} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{m - {x_1} + m - {x_2}}}{2}\\ = \frac{{2m - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2} = \frac{{2m - \frac{{m + 4}}{2}}}{2}\\ = \frac{{3m - 4}}{4} = \frac{{3\left( {4{x_M} - 4} \right) - 4}}{4}\\ = \frac{{12{x_M} - 16}}{4} = 3{x_M} - 4\\ \Rightarrow {y_M} = 3{x_M} - 4\end{array}\)

Vậy, tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi là đường thẳng y = 3x – 4.