Bài 1.84 trang 27 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C) của hàm số

\(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 8x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt 2 ,{y_{CT}} =  - 1\).

+) Đồ thị:

LG b

Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

\(y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|\) từ đồ thị \(\left( C \right)\) như sau:

+) Giữ nguyên phần đồ thị của (C ) phía trên trục hoành.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của (C ) phía dưới trục hoành qua Ox.

+) Xóa phần đồ thị phía dưới trục hoành cũ đi.

LG c

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

\(\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| + 2m - 1 = 0\)

Có 8 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| =  - 2m + 1\end{array}\)

Để phương trình có 8 nghiệm phân biệt thì đồ thị (C’) vẽ được ở câu b phải cắt đường thẳng \(y =  - 2m + 1\) tại đúng 8 điểm phân biệt.

Do đó

\(\begin{array}{l}0 <  - 2m + 1 < 1\\ \Leftrightarrow  - 1 <  - 2m < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} > m > 0\\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(0 < m < {1 \over 2}\).