Bài 1.1 trang 10 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

\(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\) là hai điểm của parabol \(y = {x^2}\). Xác định điểm \(C\) thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại \(C\) với parabol song song với đường thẳng \(AB\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là VTPT của \(AB\).

\( \Rightarrow AB:1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = x + 2\)

Do đó \(AB:y = x + 2\) có hsg \({k_{AB}} = 1\)

Ta có: \(y' = 2x\).

Gọi \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.

Tiếp tuyến tại \(C\) song song với \(AB\) nên \(y'\left( {{x_0}} \right) = {k_{AB}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x_0} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {y_0} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow C\left( {\dfrac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\end{array}\)

Vậy \(C\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}} \right)\).