Bài 1.8 trang 11 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Với các giá trị nào của a, hàm số

\(f(x) =- {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x - 3a + 2\)

nghịch biến trên \(\mathbb R\) ?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'(x) =  - {x^2} + 4x + 2a + 1\)

\(\Delta ' = 2a - 5;\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a =  - {5 \over 2}\)

+) Nếu \(a =- {5 \over 2}\) thì \(f'(x) =  - {(x - 2)^2} \le 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\), \(f'(x)=0\) chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) 

+) Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)). Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.

+) Nếu \(\Delta ' < 0\), tức là \(a <  - {5 \over 2}\) thì \(f(x) < 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\). Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)  

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)  khi và chỉ khi \(a \le  - {5 \over 2}\)