Bài 1.15 trang 12 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.15 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số ...


Cho hàm số \(f(x) = {4 \over \pi }x - \tan x,x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

LG a

Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\) và có đạo hàm

\(f'(x) = {4 \over \pi } - {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{4 - \pi } \over \pi } - {\tan ^2}x,x \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }} \)

Dễ dàng thấy rằng \(0 < \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }}  < 1 = \tan {\pi  \over 4}\).

Do đó tồn tại một số duy nhất \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha  = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }} \)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\alpha} \right]\) và nghịch biến trên \(\left[ {\alpha ;{\pi  \over 4}} \right]\)


LG b

Từ đó suy ra rằng: \(\tan x \le {4 \over \pi }x\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Theo bảng biến thiên ta có

\(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh. 



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến