Bài 1.14 trang 12 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng hàm số  \(f(x) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

LG b

Chứng minh rằng

\(\tan  - x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\), tức là

\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} - {\tan ^2}x - {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.