Câu 6 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\(4\cos x\cos 2x\cos 3x = \cos 6x\)   

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi vế trái của phương trình như sau:

\(\eqalign{ & 4\cos x\cos 2x\cos 3x = 2\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = 2{\cos ^2}2x + 2\cos 2x\cos 4x  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}2x + \left( {\cos 2x + \cos 6x} \right) \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(x = {\pi  \over 4} + k{\pi  \over 2};\,\,x =  \pm {\pi  \over 3} + k\pi \)

LG b

\(2{\cos ^2}{x \over 2}\left( {1 - \sin x} \right) + {\cos ^2}x = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi vế trái thành  \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right) + \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\,x = {\pi  \over 2} + k2\pi \)

LG c

\({\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} = 2\left( {\cos x - {1 \over {\cos x}}} \right) + 1\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Đặt \(t = \cos x - {1 \over {\cos x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\,\,x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\) với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

LG d

\(3\tan 2x - 4\tan 3x = \tan 2x{\tan ^2}3x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình như sau với điều kiện  \(cosx\cos 2x\cos 3x \ne 0\)

\(\eqalign{
& 3\tan 2x - 4\tan 3x = \tan 2x{\tan ^2}3x \cr 
& \Leftrightarrow 3\left( {tan2x - \tan 3x} \right) = \tan 3x\left( {1 + tan2x\tan 3x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow - 3\tan x = \tan 3x \Leftrightarrow - 3\tan x = {{tanx + \tan 2x} \over {1 - tanx\tan 2x}} \cr}\)

Từ đó quy về phương trình đối với \(\tan x\left( {5{{\tan }^2}x - 3} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\,\,x = k\pi \,;\,\,\,x =  \pm \alpha  + k2\pi \) với  \(\tan \alpha  = \sqrt {{3 \over 5}} \)