Câu 11 trang 214 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên \(n \ge 2\) và mọi số thực x thỏa mãn \(\left| x \right| < 1\)

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\)

Lời giải chi tiết

Khi \(n = 2,\) bất đẳng thức đúng vì

\({\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^2} = 2\left( {1 - {x^2}} \right) < 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} < 1} \right)\)

Giả sử \(n \ge 2,\)ta có:

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\,,\left( {\,\left| x \right| < 1} \right)\)               (1)

Ta cần chứng minh

\({\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left( {\left| x \right| < 1} \right)\)                 (2)

Thật vậy, do \(\left| x \right| < 1\) nên \(0 < 1 - x < 2\) và \(0 < 1 + x < 2;\) Từ đó ta có

\(\eqalign{ & {\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left( {1 - x} \right)^n}\left( {1 - x} \right) + {\left( {1 + x} \right)^n}\left( {1 + x} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, < 2\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n} + \left( {1 + x} \right)} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \)